recta en 3 d

Introdución
Los vectores, que eran utilizados en mécanica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus "equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy.
El paso siguiente lo da Hamilton. Con Hamilton inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores.
En este tema, estudiaremos los vectores en , las operaciones y sus propiedades. Además de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

Vectores
A partir de la representación de , como una recta numérica, los elementos se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a y cada se asocia con un punto de coordenada en la recta horizontal (eje ) y la coordenada en la recta vertical (eje ).
Figura 1. Punto (a,b)
Analógamente, los elementos se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes , y ).


Figura 2. Punto (a,b,c)
[Ver en 3D]

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en y en . La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

Figura 3. Vector (a,b)
Figura 4. Vector (a,b,c)

[Ver en 3D ]

Notación
Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como , , . Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como , , . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como , , .
Si el punto inicial de un vector es y el punto final es , entonces

El vector nulo se denota con
Para las secciones que siguen y con el afán de generalizar, estudiaremos las propiedades de los vectores en el . Un vector en el es un ene-tuple con cada . A se le llama componente i-ésima del vector.